Formes indéterminées au BAC : les 4 cas types et comment les lever (avec exemples corrigés)

Vous calculez une limite, vous remplacez x par sa valeur… et vous tombez sur 0/0, ∞/∞ ou ∞ − ∞. Mauvaise nouvelle ? Non : c'est le signal que l'exercice commence vraiment. Une forme indéterminée, ce n'est pas une impasse, c'est une invitation à transformer l'expression avant de conclure. Et au BAC, elle apparaît dans presque chaque étude de fonction : savoir la lever, c'est sécuriser les premiers points de l'exercice le plus rentable de l'épreuve.

D'abord, reconnaître les 4 formes indéterminées

Il n'en existe que quatre. Apprenez-les par cœur, elles se reconnaissent au premier coup d'œil :

1. 0/0 — le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers 0.
2. ∞/∞ — le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers l'infini.
3. ∞ − ∞ — une différence de deux quantités qui tendent vers l'infini.
4. 0 × ∞ — un facteur tend vers 0, l'autre vers l'infini.

Retenez la règle d'or : on ne conclut jamais directement sur une forme indéterminée. Écrire « ∞/∞ = 1 » ou « ∞ − ∞ = 0 » est faux et coûte des points. On transforme d'abord l'écriture, puis on passe à la limite.

Cas 1 — ∞/∞ en ±∞ : factoriser par le terme dominant

C'est le cas le plus fréquent au BAC, typique des fractions rationnelles (quotients de polynômes). La méthode :

1. Repérez le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
2. Factorisez chaque membre par ce terme dominant.
3. Simplifiez, puis faites tendre x vers l'infini : tous les termes en 1/x, 1/x², … tendent vers 0.

Exemple : lim(x→+∞) (2x² − x + 1)/(x² + 3). On factorise par x² : (2 − 1/x + 1/x²)/(1 + 3/x²). Quand x → +∞, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 1. La limite vaut donc 2.

Astuce de vérification : pour un quotient de polynômes en ±∞, la limite ne dépend que du rapport des termes dominants. Si les degrés sont égaux, c'est le rapport des coefficients dominants ; si le numérateur domine, la limite est infinie (signe à déterminer) ; si le dénominateur domine, la limite vaut 0.

Cas 2 — 0/0 en un point : factoriser et simplifier

Quand x tend vers une valeur finie a et que numérateur et dénominateur s'annulent tous les deux en a, c'est qu'un facteur commun (x − a) se cache dans les deux. La méthode :

1. Vérifiez que l'on a bien 0/0 en remplaçant x par a.
2. Factorisez le numérateur et le dénominateur pour faire apparaître le facteur (x − a).
3. Simplifiez par ce facteur, puis calculez la limite de l'expression simplifiée.

Exemple : lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2). En remplaçant x par 2, on obtient 0/0. Or x² − 4 = (x − 2)(x + 2) : après simplification par (x − 2), il reste x + 2, dont la limite en 2 vaut 4.

Cas 3 — ∞ − ∞ avec une racine : la quantité conjuguée

Dès qu'une racine carrée apparaît dans une différence indéterminée, le réflexe est la quantité conjuguée : on multiplie et on divise par la même expression avec le signe opposé, ce qui fait disparaître la racine grâce à l'identité (a − b)(a + b) = a² − b².

Exemple : lim(x→+∞) (√(x² + 3x) − x). C'est une forme ∞ − ∞. On multiplie et on divise par √(x² + 3x) + x : on obtient 3x / (√(x² + 3x) + x). En factorisant par x en haut et en bas, cela devient 3 / (√(1 + 3/x) + 1), qui tend vers 3/2.

La même technique s'applique en un point fini : pour lim(x→3) (√(x + 1) − 2)/(x − 3), on multiplie numérateur et dénominateur par √(x + 1) + 2, on simplifie par (x − 3), et la limite vaut 1/4.

Cas 4 — 0 × ∞ : se ramener à un quotient

Un produit dont un facteur tend vers 0 et l'autre vers l'infini se ramène presque toujours à l'un des cas précédents : on écrit le produit sous forme de quotient (diviser par l'inverse d'un facteur) ou on développe pour faire apparaître une forme connue.

Exemple : lim(x→+∞) x · (1/x² + 2/x). En développant : x · (1/x²) = 1/x → 0 et x · (2/x) = 2. La limite vaut donc 2. Moralité : développer d'abord, conclure ensuite — jamais l'inverse.

Pensez aussi aux limites usuelles, qui règlent bien des cas 0 × ∞ : ln x / x → 0 et e^x / x → +∞ en +∞. Si votre expression s'y ramène après factorisation, la réponse tombe immédiatement.

Exemple complet (type BAC)

Calculez lim(x→+∞) (3x² − 2x + 1)/(2x² + x − 5).

1. En remplaçant « mentalement » x par +∞, on obtient ∞/∞ : forme indéterminée, cas 1.
2. On factorise par x² : (3 − 2/x + 1/x²)/(2 + 1/x − 5/x²).
3. Les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0. Le numérateur tend vers 3, le dénominateur vers 2.
4. Réponse : 3/2. Vérification par la règle des termes dominants : degrés égaux, rapport des coefficients 3/2. Cohérent.

Les 3 pièges qui coûtent des points

1. Conclure sans transformer : « ∞ − ∞ = 0 » ou « 0/0 = 1 » sont des fautes, pas des raccourcis. Le correcteur attend la transformation.
2. Oublier les limites latérales : quand le dénominateur tend vers 0 sans que le numérateur s'annule, la limite est infinie mais son signe dépend du côté d'approche — étudiez séparément les limites à gauche et à droite.
3. Simplifier sans vérifier le domaine : on ne simplifie par (x − a) que pour x ≠ a — et c'est justement le cas quand on calcule une limite en a, puisque x tend vers a sans l'atteindre. Écrivez-le, c'est un point de rigueur apprécié.

À retenir

Face à une forme indéterminée, le réflexe en 3 temps : identifier le cas (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ ou 0 × ∞) → transformer (terme dominant, factorisation, quantité conjuguée) → conclure. Maîtrisez ces quatre cas et aucune limite du BAC ne vous arrêtera — c'est la porte d'entrée de toute étude de fonction réussie.

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