Suites numériques au BAC : tout ce qu'il faut savoir pour réussir (avec exemple corrigé)

Les suites numériques, c'est l'exercice qui ouvre très souvent l'épreuve de mathématiques du BAC — et celui où les points se gagnent le plus vite, à condition de suivre un ordre. Une suite, c'est simplement une liste infinie et ordonnée de nombres : u₀, u₁, u₂, … Étudier une suite, c'est répondre à deux questions : comment évoluent ses termes, et vers quoi tendent-ils ? Voici la méthode complète, dans l'ordre où il faut l'appliquer le jour J.

Étape 1 — Identifier la nature de la suite

Avant tout calcul, regardez comment la suite est définie. Deux cas seulement :

• Définie explicitement par une formule du type uₙ = f(n) : on calcule chaque terme directement. Par exemple, uₙ = n²/(n + 1) donne u₅ = 25/6.
• Définie par récurrence par un premier terme u₀ et une relation du type uₙ₊₁ = f(uₙ) : chaque terme se déduit du précédent. Par exemple, u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + 1 donnent u₁ = 3, u₂ = 7, u₃ = 15.

Cette distinction décide de tout ce qui suit : les formules de l'étape 2 ne s'appliquent qu'aux suites arithmétiques et géométriques, tandis que les suites récurrentes se traitent par l'ordre monotonie, encadrement, convergence, puis valeur de la limite.

Étape 2 — Arithmétique ou géométrique : les formules du cours

Une suite est arithmétique de raison r si l'on ajoute r à chaque pas : uₙ₊₁ = uₙ + r. Son terme général est uₙ = u₀ + n·r, et la somme de ses termes vaut (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2.

Une suite est géométrique de raison q si l'on multiplie par q à chaque pas : uₙ₊₁ = q·uₙ. Son terme général est uₙ = u₀·qⁿ, et pour q ≠ 1, la somme des termes de u₀ à uₙ vaut u₀·(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q).

Le point de vigilance : le comptage des termes. De u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes, pas n. C'est l'erreur la plus fréquente sur les sommes — et la plus facile à éviter en écrivant le nombre de termes avant d'appliquer la formule.

Étape 3 — La monotonie : le signe de la différence

Pour savoir si une suite monte ou descend, étudiez le signe de la différence uₙ₊₁ − uₙ : positive, la suite est croissante ; négative, elle est décroissante. Quand les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient uₙ₊₁/uₙ à 1.

Pour une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f croissante, la comparaison de u₀ et u₁ donne la monotonie : si u₁ ≥ u₀, la suite est croissante — mais il faut le prouver par récurrence, pas l'affirmer. Le raisonnement par récurrence est d'ailleurs attendu dès que l'énoncé demande de « démontrer que pour tout n… » : initialisation, hérédité, conclusion, rédigées explicitement.

Étape 4 — Bornes et convergence : le théorème clé

C'est le théorème le plus rentable du chapitre : toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie ; toute suite décroissante et minorée converge également. Il garantit l'existence d'une limite sans la calculer — la valeur se détermine ensuite, à l'étape 5.

Pour les suites géométriques, les limites de (qⁿ) sont à connaître par cœur : si |q| < 1, elle tend vers 0 ; si q > 1, vers +∞ ; si q = 1, elle est constante égale à 1 ; si q ≤ −1, elle n'a pas de limite. Un cas d'école : vₙ = 5 × (1/2)ⁿ tend vers 0, puisque (1/2)ⁿ → 0.

Étape 5 — La valeur de la limite : passage à la limite

Pour une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) qui converge vers L, avec f continue, la limite vérifie nécessairement L = f(L). On résout cette équation, puis on élimine les solutions impossibles (par exemple négatives, si l'on a montré que tous les termes sont positifs).

Exemple corrigé (type BAC)

Soit la suite définie par u₀ = 0 et uₙ₊₁ = √(2 + uₙ).

1. Encadrement par récurrence. Montrons que 0 ≤ uₙ ≤ 2 pour tout n. Initialisation : u₀ = 0, c'est vrai. Hérédité : si 0 ≤ uₙ ≤ 2, alors, la fonction racine étant croissante, 0 ≤ √(2 + uₙ) ≤ √4 = 2, donc 0 ≤ uₙ₊₁ ≤ 2. Conclusion : l'encadrement vaut pour tout n.
2. Monotonie. uₙ₊₁ − uₙ = √(2 + uₙ) − uₙ. Pour 0 ≤ uₙ ≤ 2, on vérifie que √(2 + uₙ) ≥ uₙ en élevant au carré : 2 + uₙ ≥ uₙ² équivaut à uₙ² − uₙ − 2 ≤ 0, soit (uₙ − 2)(uₙ + 1) ≤ 0, vrai sur [0 ; 2]. La suite est donc croissante.
3. Convergence. Croissante et majorée par 2 : elle converge vers une limite finie L, avec 0 ≤ L ≤ 2.
4. Valeur de la limite. En passant à la limite dans la relation, L = √(2 + L), donc L² = 2 + L, soit L² − L − 2 = 0, c'est-à-dire (L − 2)(L + 1) = 0. L = −1 est impossible puisque L ≥ 0 : la suite converge vers 2.

Un seul exercice, et vous avez appliqué tout le chapitre : récurrence, monotonie, théorème de convergence, passage à la limite.

Les 3 pièges qui coûtent des points

1. Le comptage des termes : de u₀ à uₙ, il y a n + 1 termes. Oublier ce +1 fausse la somme — et la suite de l'exercice.
2. Bornée ne veut pas dire convergente : la suite (−1)ⁿ est bornée entre −1 et 1, mais elle diverge. Il faut la monotonie en plus du bornage pour conclure. En revanche, toute suite convergente est bornée.
3. Le passage à la limite sans convergence : on ne peut écrire L = f(L) qu'après avoir prouvé que la suite converge. L'ordre monotonie, encadrement, convergence, puis valeur de la limite n'est pas un conseil de présentation — c'est la logique même de la démonstration.

À retenir

Une suite réussie au BAC, c'est : nature identifiée → formules arithmétiques ou géométriques → monotonie par le signe de la différence → bornes et convergence → limite par L = f(L). Apprenez cet ordre, appliquez-le à chaque exercice, et ce chapitre devient votre meilleure source de points rapides.

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