Sujet Maths BAC 2015 (Normale) — Sciences Physiques, avec corrigé détaillé | موضوع رياضيات باك 2015 مع التصحيح
Voici un sujet d'entraînement complet de mathématiques pour la filière Sciences Physiques, rédigé au format exact de l'examen national du baccalauréat (session normale 2015) : barème total 20 points, avec le corrigé détaillé de chaque sous-question.
⏱️ Conseil : traite d'abord le sujet en conditions réelles (3 heures, sans le corrigé), puis corrige-toi question par question.
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (3 points)
Exercice 1 (3 points) — Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère les points A(-3, 2, 1) et B(3, 2, 1) et le plan (P) passant par le point A et de vecteur normal u = i + j + k.
1) (0,5 pt) Montrer que x + y + z = 0 est une équation cartésienne du plan (P).
2) (0,75 pt) Soit (S) l'ensemble des points M de l'espace qui vérifient : MA · MB = 0 (produit scalaire). Montrer que (S) est une sphère de centre Ω(0, 2, 1) et de rayon R = 3.
3) a) (0,5 pt) Calculer la distance du point Ω au plan (P), puis en déduire que (P) coupe (S) suivant un cercle (C).
b) (0,5 pt) Montrer que le centre du cercle (C) est le point H(-1, 1, 0).
4) (0,75 pt) Montrer que OH ∧ OB = i + j - 5k, puis calculer l'aire du triangle OHB.
✅ Corrigé — Géométrie dans l'espace
1) Le plan (P) passe par A(-3, 2, 1) et a pour vecteur normal (1, 1, 1) : son équation est (x + 3) + (y - 2) + (z - 1) = 0, soit x + y + z = 0.
2) MA · MB = 0 signifie que l'angle AMB est droit (ou M confondu avec A ou B) : (S) est la sphère de diamètre [AB]. Son centre est le milieu Ω de [AB] : Ω((-3 + 3)/2, (2 + 2)/2, (1 + 1)/2) = (0, 2, 1), et son rayon vaut R = AB/2 = 6/2 = 3.
3) a) d(Ω, (P)) = |0 + 2 + 1|/√(1 + 1 + 1) = 3/√3 = √3 ≈ 1,73 < 3 = R : le plan (P) coupe donc la sphère (S) suivant un cercle (C).
b) Le centre de (C) est le projeté orthogonal H de Ω sur (P). La droite passant par Ω de vecteur directeur (1, 1, 1) a pour paramétrisation x = t, y = 2 + t, z = 1 + t ; son intersection avec (P) vérifie t + (2 + t) + (1 + t) = 0, soit t = -1. Donc H(-1, 1, 0).
4) OH = (-1, 1, 0) et OB = (3, 2, 1). OH ∧ OB = (1×1 - 0×2, 0×3 - (-1)×1, (-1)×2 - 1×3) = (1, 1, -5) = i + j - 5k. Son module vaut √(1 + 1 + 25) = √27 = 3√3, donc l'aire du triangle OHB est égale à (3√3)/2.
Exercice 2 — Nombres complexes (3 points)
Exercice 2 (3 points) — I) On considère le nombre complexe a = √(2 - √2) + i√(2 + √2).
1) (0,5 pt) Montrer que le module du nombre complexe a est égal à 2.
2) (0,5 pt) Vérifier que a² = -2√2 + 2i√2.
3) a) (0,5 pt) En linéarisant cos²θ (θ étant un nombre réel), montrer que 1 + cos(2θ) = 2cos²θ.
b) (0,5 pt) Montrer que a = 2(cos(3π/8) + i sin(3π/8)) est une forme trigonométrique du nombre a. II) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, e_1, e_2), on considère les points Ω et A d'affixes respectives ω = 2 et a, et la rotation R de centre Ω et d'angle π/2.
1) (0,5 pt) Montrer que l'affixe b du point B, image du point A par la rotation R, est b = (2 - √(2 + √2)) + (√(2 - √2) - 2)i.
2) (0,5 pt) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z - b| = 2.
✅ Corrigé — Nombres complexes
I) 1) |a|² = (2 - √2) + (2 + √2) = 4, donc |a| = 2.
2) a² = (2 - √2) - (2 + √2) + 2i√((2 - √2)(2 + √2)) = -2√2 + 2i√(4 - 2) = -2√2 + 2i√2.
3) a) cos(2θ) = 2cos²θ - 1, donc 1 + cos(2θ) = 2cos²θ.
b) D'après 2), a² = 2√2(-1 + i) = 4(-√2/2 + i√2/2) = 4(cos(3π/4) + i sin(3π/4)). En écrivant a = 2(cos t + i sin t), on obtient 2t ≡ 3π/4 [2π], soit t = 3π/8 (la partie réelle de a, positive, lève l'ambiguïté). Vérification par linéarisation : cos²(3π/8) = (1 + cos(3π/4))/2 = (1 - √2/2)/2 = (2 - √2)/4, donc cos(3π/8) = √(2 - √2)/2, et de même sin(3π/8) = √(2 + √2)/2, ce qui redonne bien a. Donc a = 2(cos(3π/8) + i sin(3π/8)). II) 1) b = ω + i(a - ω) = 2 + i(a - 2). Or a - 2 = (√(2 - √2) - 2) + i√(2 + √2), donc i(a - 2) = -√(2 + √2) + i(√(2 - √2) - 2), et b = (2 - √(2 + √2)) + (√(2 - √2) - 2)i.
2) |z - b| = 2 équivaut à MB = 2, où B est le point d'affixe b : l'ensemble cherché est le cercle de centre B et de rayon 2.
Exercice 3 — Calcul de probabilités (3 points)
Exercice 3 (3 points) — Une caisse U_1 contient 8 boules : cinq boules rouges et trois boules vertes (indiscernables au toucher). Une caisse U_2 contient 6 boules : quatre boules rouges et deux boules vertes (indiscernables au toucher). I) On tire au hasard et simultanément trois boules de la caisse U_1. On considère les événements A : « Obtenir une boule rouge et deux boules vertes » et B : « Obtenir trois boules de la même couleur ».
1) (0,75 pt) Montrer que p(A) = 15/56.
2) (0,75 pt) Montrer que p(B) = 11/56. II) On considère l'expérience suivante : on tire au hasard et simultanément deux boules de U_1, puis on tire au hasard une boule de U_2. Soit C l'événement : « Obtenir trois boules rouges ». (1,5 pt) Montrer que p(C) = 5/21.
✅ Corrigé — Calcul des probabilités
I) Le nombre de tirages possibles est C(8, 3) = 56, tous équiprobables.
1) Les tirages favorables à A : choisir 1 boule rouge parmi 5 et 2 boules vertes parmi 3, soit C(5, 1) × C(3, 2) = 5 × 3 = 15 tirages. Donc p(A) = 15/56.
2) Les tirages favorables à B : trois boules rouges, C(5, 3) = 10, ou trois boules vertes, C(3, 3) = 1, soit 11 tirages. Donc p(B) = 11/56. II) L'événement C est réalisé si les deux boules tirées de U_1 sont rouges et si la boule tirée de U_2 est rouge. Les deux tirages étant indépendants : p(C) = [C(5, 2)/C(8, 2)] × (4/6) = (10/28) × (2/3) = (5/14) × (2/3) = 10/42 = 5/21.
Exercice 4 — Suites numériques (3 points)
Exercice 4 (3 points) — On considère la suite numérique (un) définie par : u_0 = 0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (4un + 3)/(un + 2).
1) (1 pt) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 ≤ un < 3.
2) Soit (vn) la suite numérique définie par : vn = (un - 3)/(un + 1) pour tout entier naturel n.
a) (0,75 pt) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1/5.
b) (0,5 pt) En déduire un en fonction de n.
c) (0,75 pt) Déterminer la limite de la suite (un).
✅ Corrigé — Suites numériques
1) Pour n = 0 : u_0 = 0 vérifie 0 ≤ u_0 < 3. Supposons 0 ≤ un < 3. Alors un + 2 > 0 et 4un + 3 ≥ 3 > 0, donc un+1 ≥ 0. De plus un+1 - 3 = (4un + 3 - 3un - 6)/(un + 2) = (un - 3)/(un + 2) < 0, donc un+1 < 3. La propriété est héréditaire : 0 ≤ un < 3 pour tout n.
2) a) un+1 - 3 = (un - 3)/(un + 2) et un+1 + 1 = (4un + 3 + un + 2)/(un + 2) = 5(un + 1)/(un + 2). Donc vn+1 = (un - 3)/[5(un + 1)] = (1/5) vn : (vn) est géométrique de raison 1/5, de premier terme v_0 = (0 - 3)/(0 + 1) = -3. Ainsi vn = -3(1/5)^n.
b) vn(un + 1) = un - 3 donne un(1 - vn) = 3 + vn, soit un = (3 + vn)/(1 - vn) = (3 - 3(1/5)^n)/(1 + 3(1/5)^n).
c) (1/5)^n tend vers 0, donc vn tend vers 0 et un tend vers 3/1 = 3.
Exercice 5 — Étude d'une fonction numérique et calcul intégral (8 points)
Problème (8 points) — On considère la fonction f définie par : f(x) = 2e/(x(3 - 2 ln x)), où ln désigne la fonction logarithme népérien et e le nombre d'Euler. (C_f) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 2 cm). Partie I — 1) (0,5 pt) Montrer que l'ensemble de définition de f est D_f = ]0, e^{3/2}[ ∪ ]e^{3/2}, +∞[.
2) a) (0,5 pt) Calculer lim f(x) quand x tend vers e^{3/2} par valeurs inférieures et par valeurs supérieures, puis interpréter géométriquement les résultats.
b) (0,5 pt) Calculer lim f(x) quand x tend vers +∞, puis en déduire que (C_f) admet une asymptote au voisinage de +∞ dont on précisera une équation.
c) (0,25 pt) Montrer que lim f(x) = +∞ quand x tend vers 0 par valeurs supérieures (on remarquera que x(3 - 2 ln x) = 3x - 2x ln x), puis interpréter géométriquement le résultat.
3) a) (0,5 pt) Montrer que f'(x) = 2e(2 ln x - 1)/(x²(3 - 2 ln x)²) pour tout x de D_f.
b) (0,5 pt) Montrer que f est décroissante sur ]0, √e] et croissante sur chacun des intervalles [√e, e^{3/2}[ et ]e^{3/2}, +∞[, puis dresser le tableau de variations de f sur D_f. Partie II — Soit g la fonction définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = 2e - x²(3 - 2 ln x). (C_g) est la courbe représentative de g dans un repère orthonormé (voir figure).
1) a) (0,5 pt) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (E) : g(x) = 0, x ∈ ]0, +∞[.
b) (0,5 pt) On donne le tableau de valeurs suivant : g(3,5) ≈ -0,62 ; g(3,6) ≈ -0,24 ; g(3,7) ≈ 0,19 ; g(3,8) ≈ 0,67. Montrer que l'équation (E) admet une solution α telle que 3,6 < α < 3,7.
2) a) (0,5 pt) Vérifier que, pour tout x de D_f : f(x) - x = g(x)/(x(3 - 2 ln x)).
b) (0,25 pt) Montrer que la droite (Δ) d'équation y = x coupe la courbe (C_f) en deux points d'abscisses √e et α.
c) (0,5 pt) Déterminer, à partir de (C_g), le signe de la fonction g sur l'intervalle [√e, α] et montrer que f(x) - x ≤ 0 pour tout x de [√e, α].
3) (0,5 pt) Tracer, dans le même repère, la droite (Δ) et la courbe (C_f).
4) a) (0,5 pt) Montrer que l'intégrale de 1 à e de f(x) dx vaut e ln 3 (on remarquera que x ↦ -e ln(3 - 2 ln x) est une primitive de f sur [1, e]).
b) (0,5 pt) Calculer, en cm², l'aire du domaine plan délimité par (C_f), la droite (Δ) et les droites d'équations x = 1 et x = e. Partie III — On considère la suite (un) définie par : u_0 = 3 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.
1) (0,5 pt) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : √e ≤ un ≤ α.
2) (0,5 pt) Montrer que la suite (un) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II) 2) c)).
3) (0,5 pt) En déduire que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.
✅ Corrigé — Étude d'une fonction numérique et calcul intégral
Partie I — 1) f est définie si et seulement si x > 0 (domaine du logarithme) et 3 - 2 ln x ≠ 0, c'est-à-dire ln x ≠ 3/2, soit x ≠ e^{3/2}. Donc D_f = ]0, e^{3/2}[ ∪ ]e^{3/2}, +∞[.
2) a) Quand x tend vers e^{3/2} par valeurs inférieures, 3 - 2 ln x tend vers 0 par valeurs positives, donc x(3 - 2 ln x) tend vers 0 par valeurs positives et lim f(x) = +∞. Par valeurs supérieures, 3 - 2 ln x tend vers 0 par valeurs négatives et lim f(x) = -∞. La droite d'équation x = e^{3/2} est donc une asymptote verticale à (C_f).
b) Quand x tend vers +∞, 3 - 2 ln x tend vers -∞, donc x(3 - 2 ln x) tend vers -∞ et lim f(x) = 0, par valeurs négatives : la droite d'équation y = 0 (l'axe des abscisses) est asymptote horizontale à (C_f) au voisinage de +∞.
c) Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, 3x - 2x ln x tend vers 0 par valeurs positives (car x ln x tend vers 0), donc lim f(x) = +∞ : la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est asymptote verticale à (C_f).
3) a) Posons ψ(x) = x(3 - 2 ln x) = 3x - 2x ln x ; ψ'(x) = 3 - 2 ln x - 2 = 1 - 2 ln x. Comme f = 2e/ψ, on a f'(x) = -2e ψ'(x)/ψ(x)² = 2e(2 ln x - 1)/(x²(3 - 2 ln x)²).
b) Le signe de f'(x) est celui de (2 ln x - 1) : strictement négatif sur ]0, √e[, strictement positif sur ]√e, +∞[ (hors e^{3/2}). Donc f est décroissante sur ]0, √e] et croissante sur [√e, e^{3/2}[ et sur ]e^{3/2}, +∞[, avec un minimum local en √e valant f(√e) = 2e/(√e × 2) = √e. Tableau de variations : sur ]0, √e], f décroît de +∞ à √e ; sur [√e, e^{3/2}[, f croît de √e à +∞ ; sur ]e^{3/2}, +∞[, f croît de -∞ à 0. Partie II — 1) a) Graphiquement, la courbe (C_g) coupe l'axe des abscisses en exactement deux points : l'équation (E) admet exactement deux solutions sur ]0, +∞[.
b) La fonction g est continue sur [3,6 ; 3,7] et g(3,6) ≈ -0,24 < 0 < 0,19 ≈ g(3,7) : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation (E) admet une solution α telle que 3,6 < α < 3,7.
2) a) f(x) - x = [2e - x²(3 - 2 ln x)]/(x(3 - 2 ln x)) = g(x)/(x(3 - 2 ln x)).
b) Les abscisses des points d'intersection de (C_f) et de (Δ) sont les solutions dans D_f de f(x) = x, c'est-à-dire de g(x) = 0 ; il y en a deux : √e (car f(√e) = √e) et α.
c) D'après (C_g), g(x) ≤ 0 sur [√e, α]. Sur cet intervalle, contenu dans ]0, e^{3/2}[, on a x(3 - 2 ln x) > 0, donc f(x) - x = g(x)/(x(3 - 2 ln x)) ≤ 0.
3) Tracé : (Δ) est la première bissectrice ; (C_f) admet les asymptotes x = 0, x = e^{3/2} et y = 0, un minimum en (√e, √e) situé sur (Δ), et coupe (Δ) aux points d'abscisses √e et α.
4) a) La dérivée de x ↦ -e ln(3 - 2 ln x) est x ↦ -e × (-2/x)/(3 - 2 ln x) = 2e/(x(3 - 2 ln x)) = f(x) : c'est une primitive de f sur [1, e]. L'intégrale de 1 à e de f(x) dx vaut donc [-e ln(3 - 2 ln x)] de 1 à e, soit (-e ln 1) - (-e ln 3) = e ln 3.
b) Sur [1, e], f(x) - x s'annule en √e, est positif sur [1, √e[ et négatif sur ]√e, e] : l'aire demandée est A = (intégrale de 1 à √e de (f(x) - x) dx) - (intégrale de √e à e de (f(x) - x) dx). Une primitive de f(x) - x est x ↦ -e ln(3 - 2 ln x) - x²/2. Le premier terme vaut (-e ln 2 - e/2) - (-e ln 3 - 1/2) = e ln 3 - e ln 2 - e/2 + 1/2 et le second vaut (-e²/2) - (-e ln 2 - e/2) = -e²/2 + e ln 2 + e/2. Donc A = e²/2 + e ln 3 - 2e ln 2 - e + 1/2 ≈ 0,69 unité d'aire. L'unité étant de 2 cm, une unité d'aire vaut 4 cm² : A ≈ 2,78 cm². Partie III — 1) Pour n = 0 : u_0 = 3 et √e ≈ 1,65 ≤ 3 ≤ α ≈ 3,65. Supposons √e ≤ un ≤ α. La fonction f est croissante sur [√e, α], intervalle inclus dans [√e, e^{3/2}[, donc f(√e) ≤ f(un) ≤ f(α), c'est-à-dire √e ≤ un+1 ≤ α puisque f(√e) = √e et f(α) = α. La propriété est héréditaire.
2) un+1 - un = f(un) - un ≤ 0 d'après la question II) 2) c), car un ∈ [√e, α] : la suite (un) est décroissante.
3) Décroissante et minorée par √e, la suite (un) est convergente. Sa limite l appartient à [√e, α] et vérifie, par continuité de f, l = f(l) : donc l ∈ {√e, α}. Comme la suite est décroissante et u_0 = 3 < α, on a l ≤ 3 < α : la limite de (un) est √e.
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