Sujet Maths BAC 2016 (Normale) — Sciences Physiques, avec corrigé détaillé | موضوع رياضيات باك 2016 مع التصحيح
Voici un sujet d'entraînement complet de mathématiques pour la filière Sciences Physiques, rédigé au format exact de l'examen national du baccalauréat (session normale 2016) : barème total 20 points, avec le corrigé détaillé de chaque sous-question.
⏱️ Conseil : traite d'abord le sujet en conditions réelles (3 heures, sans le corrigé), puis corrige-toi question par question.
Exercice 1 — Suites numériques (3 points)
Exercice 1 (2,5 points) — On considère la suite numérique (un) définie par : u_0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = (un + 7)/(9 - un).
1) (0,75 pt) Vérifier que, pour tout entier naturel n : un+1 - 7 = 8(un - 7)/(2 + (7 - un)), puis montrer par récurrence que un < 7 pour tout entier naturel n.
2) Soit (vn) la suite numérique définie par : vn = (un - 1)/(7 - un) pour tout entier naturel n.
a) (0,75 pt) Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 1/4, puis en déduire que vn = (1/5)(1/4)^n pour tout entier naturel n.
b) (0,5 pt) Montrer que, pour tout entier naturel n : un = (1 + 7vn)/(1 + vn), puis écrire un en fonction de n.
c) (0,5 pt) Déterminer la limite de la suite (un).
✅ Corrigé — Suites numériques
1) un+1 - 7 = (un + 7)/(9 - un) - 7 = (un + 7 - 63 + 7un)/(9 - un) = (8un - 56)/(9 - un) = 8(un - 7)/(9 - un), et comme 9 - un = 2 + (7 - un), on obtient l'égalité demandée. Récurrence : u_0 = 2 < 7. Supposons un < 7 : alors 9 - un > 2 > 0 et un - 7 < 0, donc un+1 - 7 = 8(un - 7)/(9 - un) < 0, soit un+1 < 7. La propriété est héréditaire, donc un < 7 pour tout n (le dénominateur 9 - un ne s'annule donc jamais : la suite est bien définie).
2) a) un+1 - 1 = (un + 7 - 9 + un)/(9 - un) = 2(un - 1)/(9 - un) et 7 - un+1 = -8(un - 7)/(9 - un) = 8(7 - un)/(9 - un). Donc vn+1 = [2(un - 1)]/[8(7 - un)] = (1/4) vn : (vn) est géométrique de raison 1/4. v_0 = (2 - 1)/(7 - 2) = 1/5, donc vn = (1/5)(1/4)^n.
b) vn(7 - un) = un - 1 donne 7vn + 1 = un(1 + vn), soit un = (1 + 7vn)/(1 + vn). En remplaçant vn par son expression : un = (5 + 7(1/4)^n)/(5 + (1/4)^n).
c) (1/4)^n tend vers 0, donc vn tend vers 0 et un tend vers (1 + 0)/(1 + 0) = 1.
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (3 points)
Exercice 2 (3 points) — Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère les points A(1, 2, 3), B(2, 2, 2) et C(4, 1, 1) et la sphère (S) d'équation : x² + y² + z² - 8x - 8y - 8z + 12 = 0.
1) a) (0,5 pt) Montrer que AB ∧ AC = -i - j - k.
b) (0,5 pt) En déduire que x + y + z - 6 = 0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
2) a) (0,5 pt) Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(4, 4, 4) et pour rayon 6.
b) (0,5 pt) Montrer que d(Ω, (ABC)) = 2√3 et en déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ).
3) a) (0,5 pt) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).
b) (0,5 pt) Montrer que le point B est le centre du cercle (Γ).
✅ Corrigé — Géométrie dans l'espace
1) a) AB = (1, 0, -1) et AC = (3, -1, -2). AB ∧ AC = (0×(-2) - (-1)×(-1), (-1)×3 - 1×(-2), 1×(-1) - 0×3) = (-1, -1, -1) = -i - j - k.
b) Le vecteur (-1, -1, -1), donc aussi (1, 1, 1), est normal au plan (ABC). Le plan passant par A(1, 2, 3) a pour équation x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6, soit x + y + z - 6 = 0 (B et C la vérifient).
2) a) x² - 8x = (x - 4)² - 16, et de même en y et en z : l'équation devient (x - 4)² + (y - 4)² + (z - 4)² = 48 - 12 = 36 = 6². La sphère (S) a donc pour centre Ω(4, 4, 4) et pour rayon 6.
b) d(Ω, (ABC)) = |4 + 4 + 4 - 6|/√(1 + 1 + 1) = 6/√3 = 2√3 ≈ 3,46 < 6 : le plan coupe la sphère suivant un cercle (Γ), de rayon √(36 - 12) = 2√6.
3) a) (Δ) passe par Ω(4, 4, 4) avec le vecteur directeur (1, 1, 1) : x = 4 + t, y = 4 + t, z = 4 + t (t réel).
b) Le centre du cercle (Γ) est le projeté orthogonal H de Ω sur (ABC), intersection de (Δ) et du plan : 3(4 + t) - 6 = 0 donne t = -2, d'où H(2, 2, 2) = B. Le point B est donc le centre du cercle (Γ).
Exercice 3 — Nombres complexes (3 points)
Exercice 3 (3 points) — 1) (0,75 pt) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z² - 6z + 25 = 0.
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, e_1, e_2), on considère les points Ω, A et B d'affixes respectives ω = 3 + 4i, a = 8 - i et b = 8 + 9i.
a) (0,75 pt) Soit u le nombre complexe tel que u = b - ω. Vérifier que u = 5 + 5i.
b) (0,25 pt) Déterminer un argument du nombre complexe ū (ū étant le conjugué de u).
c) (0,75 pt) Vérifier que a - ω = ū, puis en déduire que ΩA = ΩB et que arg((b - ω)/(a - ω)) ≡ π/2 [2π].
d) (0,5 pt) On considère la rotation R de centre Ω et d'angle π/2. Déterminer l'image du point A par la rotation R.
✅ Corrigé — Nombres complexes
1) Δ = 36 - 100 = -64 = (8i)². Les solutions sont z = (6 - 8i)/2 = 3 - 4i et z = (6 + 8i)/2 = 3 + 4i.
2) a) u = b - ω = (8 + 9i) - (3 + 4i) = 5 + 5i.
b) ū = 5 - 5i ; |ū| = 5√2 et ū = 5√2(cos(-π/4) + i sin(-π/4)), donc arg(ū) ≡ -π/4 [2π].
c) a - ω = (8 - i) - (3 + 4i) = 5 - 5i = ū. Alors ΩA = |a - ω| = |ū| = 5√2 et ΩB = |b - ω| = |u| = 5√2, donc ΩA = ΩB. De plus (b - ω)/(a - ω) = u/ū = (5 + 5i)/(5 - 5i) = (1 + i)/(1 - i) = i, donc arg((b - ω)/(a - ω)) ≡ arg(i) ≡ π/2 [2π] : le triangle ΩAB est rectangle isocèle en Ω.
d) L'image de A par R a pour affixe ω + i(a - ω) = (3 + 4i) + i(5 - 5i) = 3 + 4i + 5i + 5 = 8 + 9i = b : l'image du point A par la rotation R est le point B.
Exercice 4 — Calcul de probabilités (3 points)
Exercice 4 (3 points) — Une urne contient 9 boules : cinq boules rouges et quatre boules vertes (les boules sont indiscernables au toucher). On tire au hasard, simultanément, deux boules de l'urne.
1) (1 pt) Soit A l'événement : « Les deux boules tirées sont rouges ». Montrer que p(A) = 5/18.
2) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules rouges restantes dans l'urne après le tirage des deux boules.
a) (0,5 pt) Montrer que l'ensemble des valeurs prises par X est {3, 4, 5}.
b) (1,5 pt) Montrer que p(X = 4) = 5/9, puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
✅ Corrigé — Calcul de probabilités
Le nombre total de tirages possibles est C(9, 2) = 36, tous équiprobables.
1) Les tirages favorables à A sont au nombre de C(5, 2) = 10, donc p(A) = 10/36 = 5/18.
2) a) L'urne contient 5 boules rouges ; si l'on en tire 0, 1 ou 2, il en reste respectivement 5, 4 ou 3 dans l'urne : X prend les valeurs 3, 4 et 5.
b) X = 4 signifie qu'exactement une boule rouge a été tirée : p(X = 4) = (5 × 4)/36 = 20/36 = 5/9. X = 3 signifie que deux boules rouges ont été tirées : p(X = 3) = 5/18 (question 1). X = 5 signifie qu'aucune boule rouge n'a été tirée : p(X = 5) = C(4, 2)/36 = 6/36 = 1/6. Loi de X : p(X = 3) = 5/18, p(X = 4) = 5/9, p(X = 5) = 1/6 (vérification : 5/18 + 10/18 + 3/18 = 1).
Exercice 5 — Étude d'une fonction numérique et calcul intégral (8 points)
Problème (8,5 points) — On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x) = 8x + 3 + e^{2x} - 8ex. Soit (C_f) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 1 cm). Partie I — 1) a) (0,25 pt) Montrer que lim f(x) = -∞ quand x tend vers -∞.
b) (0,5 pt) Montrer que la droite (D) d'équation y = 8x + 3 est asymptote à la courbe (C_f) au voisinage de -∞.
2) a) (0,5 pt) Montrer que lim f(x) = +∞ quand x tend vers +∞.
b) (0,5 pt) Montrer que lim f(x)/x = +∞ quand x tend vers +∞, puis interpréter géométriquement ce résultat.
3) a) (0,5 pt) Montrer que f'(x) = 2(ex - 2)² pour tout nombre réel x.
b) (0,5 pt) Donner le tableau de variations de la fonction f sur ℝ (remarquer que f'(ln 2) = 0).
4) a) (0,75 pt) Montrer qu'il existe un réel unique α de l'intervalle ]1, ln 8[ tel que f(α) = 0 (on prendra ln 8 ≈ 2,08 et α ≈ 1,55).
b) (0,5 pt) Montrer que la courbe (C_f) est située au-dessus de la droite (D) sur l'intervalle ]ln 8, +∞[ et en dessous de la droite (D) sur l'intervalle ]-∞, ln 8[.
c) (0,5 pt) Montrer que la courbe (C_f) admet un point d'inflexion unique de coordonnées (ln 2, 8 ln 2 - 9).
d) (0,5 pt) Construire la droite (D) et la courbe (C_f) dans le même repère.
5) a) (0,5 pt) Montrer que l'intégrale de 0 à ln 8 de (e^{2x} - 8ex) dx vaut -49/2.
b) (0,5 pt) Calculer, en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe (C_f), la droite (D), l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = ln 8. Partie II — 1) a) (0,5 pt) Résoudre l'équation différentielle (E) : y'' - 3y' + 2y = 0.
b) (0,5 pt) Déterminer la solution g de l'équation (E) vérifiant g(0) = -7 et g'(0) = -6.
2) Soit h la fonction numérique définie sur l'intervalle ]ln 8, +∞[ par : h(x) = ln(e^{2x} - 8ex).
a) (0,75 pt) Montrer que la fonction h admet une fonction réciproque h^{-1} définie sur ℝ.
b) (0,75 pt) Vérifier que h(ln 9) = ln 9, puis déterminer (h^{-1})'(ln 9).
✅ Corrigé — Étude d'une fonction numérique et calcul intégral
Partie I — 1) a) Quand x tend vers -∞, 8x + 3 tend vers -∞ et e^{2x} - 8ex tend vers 0, donc lim f(x) = -∞.
b) f(x) - (8x + 3) = e^{2x} - 8ex tend vers 0 quand x tend vers -∞ : la droite (D) est asymptote à (C_f) au voisinage de -∞.
2) a) f(x) = e^{2x}(1 - 8e^{-x} + (8x + 3)e^{-2x}) ; le facteur entre parenthèses tend vers 1 et e^{2x} tend vers +∞, donc lim f(x) = +∞.
b) f(x)/x = 8 + 3/x + e^{2x}/x - 8ex/x tend vers +∞ par croissances comparées : (C_f) admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
3) a) f'(x) = 8 + 2e^{2x} - 8ex = 2(e^{2x} - 4ex + 4) = 2(ex - 2)².
b) f'(x) ≥ 0 pour tout x, et f'(x) = 0 si et seulement si ex = 2, c'est-à-dire x = ln 2. La fonction f est donc strictement croissante sur ℝ, de -∞ à +∞, avec f(ln 2) = 8 ln 2 + 3 + 4 - 16 = 8 ln 2 - 9 ≈ -3,45.
4) a) f est continue et strictement croissante sur ℝ avec des limites -∞ et +∞ : l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α. Or f(1) = 11 + e² - 8e ≈ -3,36 < 0 et f(ln 8) = 8 ln 8 + 3 + 64 - 64 = 8 ln 8 + 3 > 0, donc α ∈ ]1, ln 8[ (α ≈ 1,55).
b) f(x) - (8x + 3) = ex(ex - 8) : comme ex > 0, le signe est celui de (ex - 8), strictement positif si x > ln 8 et strictement négatif si x < ln 8. Donc (C_f) est au-dessus de (D) sur ]ln 8, +∞[ et en dessous sur ]-∞, ln 8[.
c) f''(x) = 4e^{2x} - 8ex = 4ex(ex - 2) s'annule en x = ln 2 en changeant de signe (négative avant, positive après) : (C_f) admet un unique point d'inflexion, de coordonnées (ln 2, 8 ln 2 - 9).
d) Construction : (C_f) passe par (0, -4), admet (D) pour asymptote en -∞, un point d'inflexion en (ln 2, 8 ln 2 - 9), coupe l'axe des abscisses en α ≈ 1,55 et présente une branche parabolique verticale en +∞.
5) a) Une primitive de x ↦ e^{2x} - 8ex est x ↦ e^{2x}/2 - 8ex. L'intégrale vaut donc (64/2 - 8×8) - (1/2 - 8) = (32 - 64) + 7,5 = -49/2.
b) Sur [0, ln 8], f(x) - (8x + 3) ≤ 0 : l'aire demandée est l'opposé de l'intégrale de 0 à ln 8 de (f(x) - (8x + 3)) dx, soit 49/2 = 24,5 cm² (unité : 1 cm). Partie II — 1) a) L'équation caractéristique r² - 3r + 2 = 0 a pour solutions r = 1 et r = 2 : les solutions de (E) sont les fonctions x ↦ A ex + B e^{2x} (A et B réels).
b) g(0) = A + B = -7 et g'(0) = A + 2B = -6 donnent B = 1 et A = -8, donc g(x) = e^{2x} - 8ex (on remarque que g(x) = f(x) - (8x + 3)).
2) a) Pour x > ln 8, e^{2x} - 8ex = ex(ex - 8) > 0 : h est bien définie. h'(x) = (2e^{2x} - 8ex)/(e^{2x} - 8ex) > 0 sur ]ln 8, +∞[, donc h est strictement croissante. De plus lim h(x) = -∞ quand x tend vers ln 8 par valeurs supérieures et lim h(x) = +∞ quand x tend vers +∞. Par continuité et stricte monotonie, h réalise une bijection de ]ln 8, +∞[ sur ℝ : elle admet donc une fonction réciproque h^{-1} définie sur ℝ.
b) h(ln 9) = ln(81 - 8×9) = ln(81 - 72) = ln 9. Et (h^{-1})'(ln 9) = 1/h'(ln 9) avec h'(ln 9) = (2×81 - 8×9)/(81 - 72) = 90/9 = 10, donc (h^{-1})'(ln 9) = 1/10.
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