Sujet Maths BAC 2017 (Normale) — Sciences Physiques, avec corrigé détaillé | موضوع رياضيات باك 2017 مع التصحيح

Voici un sujet d'entraînement complet de mathématiques pour la filière Sciences Physiques, rédigé au format exact de l'examen national du baccalauréat (session normale 2017) : barème total 20 points, avec le corrigé détaillé de chaque sous-question.

⏱️ Conseil : traite d'abord le sujet en conditions réelles (3 heures, sans le corrigé), puis corrige-toi question par question.

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Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère le plan (P) passant par le point A(2, 1, 0) et dont u(1, 0, 1) est un vecteur normal, et la sphère (S) de centre le point Ω(0, 1, 0) et de rayon √2.
1) a) (0,5 pt) Montrer que x + z − 2 = 0 est une équation cartésienne du plan (P).
b) (0,75 pt) Montrer que le plan (P) est tangent à la sphère (S) et vérifier que B(1, 1, 1) est le point de contact.
2) a) (0,25 pt) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point A et orthogonale au plan (P).
b) (0,75 pt) Montrer que la droite (Δ) est tangente à la sphère (S) au point C(1, 1, −1).
3) (0,75 pt) Montrer que OC ∧ OB = 2i − 2j et en déduire l'aire du triangle OCB.

✅ Corrigé — Géométrie dans l'espace

1) a) M(x, y, z) appartient à (P) si et seulement si AM · u = 0, c'est-à-dire (x − 2) × 1 + (y − 1) × 0 + (z − 0) × 1 = 0, soit x + z − 2 = 0.
b) La distance du centre Ω(0, 1, 0) au plan (P) vaut d(Ω, (P)) = |0 + 0 − 2| / √(1² + 0² + 1²) = 2/√2 = √2, qui est exactement le rayon de la sphère (S) : le plan (P) est donc tangent à la sphère (S). De plus, B(1, 1, 1) appartient à (P) car 1 + 1 − 2 = 0, et B appartient à (S) car ΩB = √(1² + 0² + 1²) = √2 ; comme le vecteur ΩB = (1, 0, 1) est normal au plan (P), B est le projeté orthogonal de Ω sur (P) : c'est le point de contact.
2) a) La droite (Δ) est orthogonale à (P), donc elle admet u(1, 0, 1) comme vecteur directeur ; passant par A(2, 1, 0), elle admet pour représentation paramétrique : x = 2 + t, y = 1, z = t (t réel).
b) Le point C(1, 1, −1) appartient à (Δ) pour t = −1. On a ΩC = (1, 0, −1), donc ΩC · u = 1 − 1 = 0 : la droite (Δ) est perpendiculaire au rayon (ΩC) en C. De plus |ΩC| = √(1 + 0 + 1) = √2, donc C appartient à (S). Une droite passant par un point d'une sphère et perpendiculaire au rayon en ce point est tangente à la sphère : (Δ) est tangente à (S) au point C.
3) OC = (1, 1, −1) et OB = (1, 1, 1), donc OC ∧ OB = (1×1 − (−1)×1, (−1)×1 − 1×1, 1×1 − 1×1) = (2, −2, 0) = 2i − 2j. L'aire du triangle OCB vaut alors (1/2) × ||OC ∧ OB|| = (1/2) × √(4 + 4) = √2.

Exercice 2 — Calcul des probabilités (3 points)

Une urne contient huit boules indiscernables au toucher portant chacune un nombre : trois boules portent le nombre 0, une boule porte le nombre 1, trois boules portent le nombre 2 et une boule porte le nombre 4. On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne.
1) (1,5 pt) Soit A l'événement : « Parmi les trois boules tirées, aucune boule ne porte le nombre 0 » et B l'événement : « Le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à 8 ». Montrer que p(A) = 5/28 et que p(B) = 1/14.
2) Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le produit des nombres portés par les trois boules tirées.
a) (0,5 pt) Montrer que p(X = 16) = 3/56.
b) (1 pt) Le tableau suivant concerne la loi de probabilité de la variable aléatoire X : les valeurs de X sont 0, 4, 8 et 16, avec p(X = 16) = 3/56. Recopier et compléter le tableau en justifiant chaque réponse.

✅ Corrigé — Calcul des probabilités

Le nombre total de tirages possibles est C(8, 3) = 56, tous équiprobables.
1) L'événement A signifie que les trois boules sont choisies parmi les cinq boules ne portant pas le nombre 0 : nombre de cas favorables C(5, 3) = 10, donc p(A) = 10/56 = 5/28. Pour l'événement B, le produit 8 s'obtient de deux façons : (1, 2, 4), ce qui donne 1 × 3 × 1 = 3 tirages, ou (2, 2, 2), ce qui donne C(3, 3) = 1 tirage. Il y a donc 4 cas favorables et p(B) = 4/56 = 1/14.
2) a) Le produit 16 ne s'obtient que par (2, 2, 4) : le nombre de tirages correspondants est C(3, 2) × 1 = 3, d'où p(X = 16) = 3/56.
b) Le produit 4 ne s'obtient que par (1, 2, 2) : 1 × C(3, 2) = 3 tirages, donc p(X = 4) = 3/56. Le produit 8 correspond à l'événement B : p(X = 8) = 1/14 = 4/56. Enfin, X = 0 dans tous les autres cas : p(X = 0) = 1 − (3/56 + 4/56 + 3/56) = 46/56 = 23/28. Tableau complété : p(X = 0) = 23/28 ; p(X = 4) = 3/56 ; p(X = 8) = 1/14 ; p(X = 16) = 3/56 (la somme vaut bien 1).

Exercice 3 — Nombres complexes (3 points)

On considère les nombres complexes a et b tels que a = 1 + i√3 et b = 1 − √3 + (1 + √3)i.
1) a) (0,25 pt) Vérifier que b = (1 + i)a.
b) (0,5 pt) En déduire que |b| = 2√2 et que arg b ≡ 7π/12 [2π].
c) (0,5 pt) Déduire de ce qui précède que cos(7π/12) = (√2 − √6)/4.
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v). On considère les points A et B d'affixes respectives a et b et le point C d'affixe c telle que c = −√3 + i.
a) (0,75 pt) Vérifier que c = ia et en déduire que OA = OC et que (OA, OC) ≡ π/2 [2π].
b) (0,5 pt) Montrer que le point B est l'image du point A par la translation de vecteur OC.
c) (0,5 pt) En déduire que le quadrilatère OABC est un carré.

✅ Corrigé — Nombres complexes

1) a) (1 + i)a = (1 + i)(1 + i√3) = 1 + i√3 + i + i²√3 = (1 − √3) + (1 + √3)i = b.
b) |b| = |1 + i| × |a| = √2 × √(1 + 3) = 2√2. De plus arg a ≡ π/3 [2π] car a = 2(1/2 + i√3/2), et arg(1 + i) ≡ π/4 [2π] ; donc arg b ≡ π/3 + π/4 = 7π/12 [2π].
c) cos(arg b) = Re(b) / |b| = (1 − √3) / (2√2) ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par √2, on obtient cos(7π/12) = (√2 − √6)/4.
2) a) ia = i(1 + i√3) = i + i²√3 = −√3 + i = c. Alors OC = |c| = |i| × |a| = |a| = OA = 2, et (OA, OC) ≡ arg(c/a) ≡ arg(i) ≡ π/2 [2π].
b) L'image de A par la translation de vecteur OC a pour affixe a + c : a + c = (1 + i√3) + (−√3 + i) = (1 − √3) + (√3 + 1)i = b, qui est l'affixe de B. Donc B est bien l'image de A par cette translation.
c) D'après b), le quadrilatère OABC est un parallélogramme (le vecteur AB est égal au vecteur OC). D'après a), ses côtés adjacents OA et OC sont égaux et perpendiculaires (angle AOC égal à π/2) : un parallélogramme ayant deux côtés adjacents égaux et perpendiculaires est un carré. Donc OABC est un carré.

Exercice 4 — Problème : étude d'une fonction, calcul intégral et suites (11 points)

I- Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0, +∞[ par : g(x) = x² + 2x − 3 + 3 ln x (ln désigne la fonction logarithme népérien).
1) (0,25 pt) Vérifier que g(1) = 0.
2) (1 pt) À partir du tableau de variations de la fonction g (la fonction g est strictement croissante sur ]0, +∞[, sa limite en 0 par valeurs supérieures est −∞ et sa limite en +∞ est +∞) : montrer que g(x) ≤ 0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, 1] et que g(x) ≥ 0 pour tout x appartenant à l'intervalle [1, +∞[. II- On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle ]0, +∞[ par : f(x) = x + (2 − 3/x) ln x. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 1 cm).
1) (0,5 pt) Montrer que la limite de f(x) quand x tend vers 0 par valeurs supérieures est +∞ et interpréter géométriquement le résultat.
2) a) (0,25 pt) Montrer que la limite de f(x) quand x tend vers +∞ est +∞.
b) (0,75 pt) Montrer que la courbe (C) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite (D) d'équation y = x.
3) a) (1 pt) Montrer que f'(x) = g(x)/x² pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, +∞[.
b) (0,75 pt) Montrer que f est décroissante sur l'intervalle ]0, 1] et croissante sur l'intervalle [1, +∞[.
c) (0,25 pt) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0, +∞[.
4) a) (0,5 pt) Résoudre dans l'intervalle ]0, +∞[ l'équation (2 − 3/x) ln x = 0.
b) (0,5 pt) En déduire que la courbe (C) coupe la droite (D) en deux points dont on déterminera les coordonnées.
c) (0,75 pt) Montrer que f(x) ≤ x pour tout x appartenant à l'intervalle [1, 3/2] et en déduire la position relative de la courbe (C) et la droite (D) sur l'intervalle [1, 3/2].
5) (1 pt) Construire, dans le même repère (O, i, j), la droite (D) et la courbe (C). (On admettra que la courbe (C) possède un seul point d'inflexion dont l'abscisse est comprise entre 2,1 et 2,2.) 6) a) (0,5 pt) Montrer que l'intégrale, de 1 à 3/2, de (ln x)/x dx est égale à (1/2)(ln(3/2))².
b) (0,25 pt) Montrer que la fonction H : x ↦ 3 ln x − 2x est une fonction primitive de la fonction h : x ↦ 3/x − 2 sur l'intervalle ]0, +∞[.
c) (0,5 pt) Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que l'intégrale, de 1 à 3/2, de (3/x − 2) ln x dx est égale à (3/2)(ln(3/2))² − 3 ln(3/2) + 1.
d) (0,5 pt) Calculer, en cm², l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations x = 1 et x = 3/2. III- On considère la suite numérique (uₙ) définie par : u₀ = √2 et uₙ₊₁ = f(uₙ) pour tout entier naturel n.
1) (0,5 pt) Montrer par récurrence que 1 ≤ uₙ ≤ 3/2 pour tout entier naturel n.
2) (0,5 pt) Montrer que la suite (uₙ) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II-4) c)).
3) (0,75 pt) En déduire que la suite (uₙ) est convergente et déterminer sa limite.

✅ Corrigé — Problème : étude d'une fonction, calcul intégral et suites

I- 1) g(1) = 1 + 2 − 3 + 3 ln 1 = 0 car ln 1 = 0.
2) La fonction g est strictement croissante sur ]0, +∞[ et g(1) = 0 : pour x ≤ 1 on a donc g(x) ≤ g(1) = 0, et pour x ≥ 1 on a g(x) ≥ g(1) = 0. II- 1) Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, ln x tend vers −∞ et (2 − 3/x) tend vers −∞ ; leur produit tend donc vers +∞, et comme x tend vers 0, la limite de f(x) est +∞. Interprétation géométrique : la droite d'équation x = 0 (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe (C).
2) a) Quand x tend vers +∞, ln x tend vers +∞ et (2 − 3/x) tend vers 2, donc (2 − 3/x) ln x tend vers +∞ ; il en est de même de f(x).
b) f(x)/x = 1 + (2 − 3/x)(ln x)/x tend vers 1 car (ln x)/x tend vers 0 en +∞, et f(x) − x = (2 − 3/x) ln x tend vers +∞ : la courbe (C) admet donc au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique la droite (D).
3) a) En dérivant le produit (2 − 3/x) ln x, dont la dérivée est (3/x²) ln x + (2 − 3/x)(1/x), on obtient : f'(x) = 1 + 2/x − 3/x² + (3 ln x)/x² = (x² + 2x − 3 + 3 ln x)/x² = g(x)/x².
b) Comme x² est strictement positif, f'(x) a le signe de g(x) : d'après la partie I, f'(x) ≤ 0 sur ]0, 1] et f'(x) ≥ 0 sur [1, +∞[ ; donc f est décroissante sur ]0, 1] et croissante sur [1, +∞[.
c) Tableau de variations : f décroît de +∞ à f(1) = 1 sur ]0, 1], puis croît de 1 à +∞ sur [1, +∞[ ; le minimum de f est f(1) = 1.
4) a) Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : ln x = 0 donne x = 1, et 2 − 3/x = 0 donne x = 3/2. L'ensemble des solutions est {1 ; 3/2}.
b) f(x) = x équivaut à f(x) − x = (2 − 3/x) ln x = 0 : la courbe (C) coupe la droite (D) aux points d'abscisses 1 et 3/2, c'est-à-dire aux points (1, 1) et (3/2, 3/2).
c) Sur [1, 3/2], ln x ≥ 0 et 2 − 3/x ≤ 0 (car x ≤ 3/2 donne 3/x ≥ 2) ; donc f(x) − x = (2 − 3/x) ln x ≤ 0, c'est-à-dire f(x) ≤ x. La courbe (C) est donc située en dessous de la droite (D) sur l'intervalle [1, 3/2].
5) Construction : on trace la droite (D) d'équation y = x, l'asymptote verticale x = 0, puis la courbe (C) qui descend de +∞ jusqu'au point (1, 1) (tangente horizontale car f'(1) = 0), passe en dessous de (D) jusqu'au point (3/2, 3/2), la croise, puis monte vers +∞ avec un point d'inflexion d'abscisse comprise entre 2,1 et 2,2.
6) a) La fonction x ↦ (ln x)²/2 est une primitive de x ↦ (ln x)/x ; donc l'intégrale vaut [(ln x)²/2] entre 1 et 3/2, soit (1/2)(ln(3/2))² − 0 = (1/2)(ln(3/2))².
b) H'(x) = 3/x − 2 = h(x) pour tout x de ]0, +∞[ : H est bien une primitive de h.
c) Intégration par parties avec u(x) = ln x et v'(x) = 3/x − 2, donc v(x) = H(x) = 3 ln x − 2x : l'intégrale cherchée vaut [(3 ln x − 2x) ln x] entre 1 et 3/2, moins l'intégrale, de 1 à 3/2, de (3 ln x − 2x)/x dx. En x = 3/2, le crochet vaut (3 ln(3/2) − 3) ln(3/2) = 3(ln(3/2))² − 3 ln(3/2), et il est nul en x = 1. De plus (3 ln x − 2x)/x = 3(ln x)/x − 2, dont l'intégrale de 1 à 3/2 vaut, d'après a), 3 × (1/2)(ln(3/2))² − 2 × (1/2) = (3/2)(ln(3/2))² − 1. Par différence : 3(ln(3/2))² − 3 ln(3/2) − (3/2)(ln(3/2))² + 1 = (3/2)(ln(3/2))² − 3 ln(3/2) + 1.
d) Sur [1, 3/2], la courbe (C) est en dessous de la droite (D), donc l'aire cherchée est l'intégrale, de 1 à 3/2, de (x − f(x)) dx, c'est-à-dire l'intégrale, de 1 à 3/2, de (3/x − 2) ln x dx. D'après c), elle vaut (3/2)(ln(3/2))² − 3 ln(3/2) + 1 ≈ 0,03 cm² (l'unité d'aire vaut 1 cm²). III- 1) Initialisation : u₀ = √2 et 1 ≤ √2 ≤ 3/2 car 1 ≤ 2 ≤ 9/4, donc la propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons 1 ≤ uₙ ≤ 3/2. La fonction f est croissante sur [1, +∞[, donc f(1) ≤ f(uₙ) ≤ f(3/2) ; or f(1) = 1 et f(3/2) = 3/2 d'après II-4) b), donc 1 ≤ uₙ₊₁ ≤ 3/2. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout entier naturel n.
2) uₙ₊₁ − uₙ = f(uₙ) − uₙ ; or uₙ appartient à [1, 3/2] et, d'après II-4) c), f(x) ≤ x sur cet intervalle : donc uₙ₊₁ − uₙ ≤ 0 et la suite (uₙ) est décroissante.
3) La suite (uₙ) est décroissante et minorée par 1 : elle est donc convergente vers une limite ℓ appartenant à [1, 3/2]. La fonction f étant continue, ℓ vérifie ℓ = f(ℓ), donc ℓ appartient à {1 ; 3/2} d'après II-4) b). Mais la suite est décroissante à partir de u₀ = √2, donc ℓ ≤ √2 < 3/2 : on conclut que ℓ = 1.

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