Sujet Maths BAC 2018 (Rattrapage) — Sciences Physiques, avec corrigé détaillé | موضوع رياضيات باك 2018 مع التصحيح

Voici un sujet d'entraînement complet de mathématiques pour la filière Sciences Physiques, rédigé au format exact de l'examen national du baccalauréat (session rattrapage 2018) : barème total 20 points, avec le corrigé détaillé de chaque sous-question.

⏱️ Conseil : traite d'abord le sujet en conditions réelles (3 heures, sans le corrigé), puis corrige-toi question par question.

---

Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (3 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O, i, j, k), on considère la sphère (S) de centre Ω(2, 2, 2) et de rayon 2 et le plan (P) passant par le point A(2, 0, 1) et dont n(1, 2, 2) est un vecteur normal.
1) (0,5 pt) Montrer qu'une équation de (S) est : x² + y² + z² − 4x − 4y − 4z + 8 = 0.
2) (0,5 pt) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (P) est : x + 2y + 2z − 4 = 0.
3) a) (0,5 pt) Vérifier que le système {x = 2 + t ; y = 2 + 2t ; z = 2 + 2t} (t ∈ ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (P).
b) (0,5 pt) Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite (Δ) et du plan (P).
4) a) (0,25 pt) Calculer d(Ω, (P)).
b) (0,75 pt) Montrer que le plan (P) est tangent à la sphère (S) en un point que l'on déterminera.

✅ Corrigé — Géométrie dans l'espace

1) (S) : (x − 2)² + (y − 2)² + (z − 2)² = 4. En développant : x² − 4x + 4 + y² − 4y + 4 + z² − 4z + 4 = 4, soit x² + y² + z² − 4x − 4y − 4z + 8 = 0.
2) (P) passe par A(2, 0, 1) et a pour vecteur normal n(1, 2, 2), donc son équation est (x − 2) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = 0, soit x + 2y + 2z − 4 = 0.
3) a) La droite (Δ) passe par Ω(2, 2, 2) et est dirigée par n(1, 2, 2) (elle est orthogonale à (P)) : ses équations paramétriques sont x = 2 + t, y = 2 + 2t, z = 2 + 2t.
b) H vérifie les équations de (Δ) et celle de (P) : (2 + t) + 2(2 + 2t) + 2(2 + 2t) − 4 = 0 donne 9t + 6 = 0, soit t = −2/3. Donc H(4/3, 2/3, 2/3).
4) a) d(Ω, (P)) = |2 + 4 + 4 − 4|/√(1 + 4 + 4) = 6/3 = 2.
b) d(Ω, (P)) = 2 = rayon de (S) : le plan (P) est tangent à la sphère (S), et le point de tangence est le projeté orthogonal de Ω sur (P), c'est-à-dire H(4/3, 2/3, 2/3).

Exercice 2 — Nombres complexes (3 points)

1) (0,75 pt) Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation z² − 2z + 2 = 0.
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v), on considère le point A d'affixe a = 1 − i et la rotation R de centre O et d'angle π/3.
a) (0,25 pt) Écrire a sous forme trigonométrique.
b) (0,5 pt) Vérifier que l'affixe du point B, image du point A par la rotation R, est b = √2 (cos(π/12) + i sin(π/12)).
3) a) (0,5 pt) On considère le point C d'affixe c = 1 + i ; montrer que |b − c| = √3 − 1.
b) (0,5 pt) Soit t la translation de vecteur OC et D l'image du point B par la translation t. Montrer que OD = |b + c| et que OD = √3 + 1.
c) (0,5 pt) En déduire que OD × BC = 2.

✅ Corrigé — Nombres complexes

1) Δ = 4 − 8 = −4 = (2i)². Les solutions sont z₁ = (2 − 2i)/2 = 1 − i et z₂ = 1 + i.
2) a) |a| = √(1 + 1) = √2 et arg(a) = −π/4, donc a = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4)).
b) L'écriture complexe de R est z′ = e^(iπ/3) z. Donc b = a × e^(iπ/3) = √2 e^(−iπ/4) × e^(iπ/3) = √2 e^(i(−π/4 + π/3)) = √2 e^(iπ/12) = √2 (cos(π/12) + i sin(π/12)).
3) a) En utilisant cos(π/12) = (√6 + √2)/4 et sin(π/12) = (√6 − √2)/4 :
b = ((√3 + 1)/2) + i((√3 − 1)/2).
Donc b − c = ((√3 + 1)/2 − 1) + i((√3 − 1)/2 − 1) = ((√3 − 1)/2) + i((√3 − 3)/2).
|b − c|² = ((√3 − 1)² + (√3 − 3)²)/4 = ((4 − 2√3) + (12 − 6√3))/4 = (16 − 8√3)/4 = 4 − 2√3 = (√3 − 1)².
Donc |b − c| = √3 − 1, c'est-à-dire BC = √3 − 1.
b) La translation de vecteur OC donne pour D l'affixe d = b + c, donc OD = |b + c|.
b + c = ((√3 + 3)/2) + i((√3 + 1)/2), donc |b + c|² = ((√3 + 3)² + (√3 + 1)²)/4 = ((12 + 6√3) + (4 + 2√3))/4 = (16 + 8√3)/4 = 4 + 2√3 = (√3 + 1)².
Donc OD = √3 + 1.
c) OD × BC = (√3 + 1)(√3 − 1) = 3 − 1 = 2.

Exercice 3 — Calcul des probabilités (3 points)

Une urne contient 11 boules indiscernables au toucher : 4 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 1, et 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 2, et 4 boules de couleur verte portant chacune le nombre 2.
On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les événements suivants :
A : « Obtenir deux boules portant le même nombre » ;
B : « Obtenir deux boules de couleurs différentes » ;
C : « Obtenir deux boules portant deux nombres dont la somme est égale à 3 ».
1) (1 pt) Montrer que p(A) = 27/55.
2) a) (1 pt) Montrer que p(A ∩ B) = 12/55 et p(B) = 28/55, et calculer p(C).
b) (0,5 pt) Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
3) (0,5 pt) Sachant que l'événement B est réalisé, calculer la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre.

✅ Corrigé — Calcul des probabilités

Le nombre total de tirages est C(11, 2) = 55. L'urne contient 7 boules rouges, 4 boules vertes, 4 boules portant le nombre 1 et 7 boules portant le nombre 2.
1) A se réalise en tirant deux boules « 1 » : C(4, 2) = 6 tirages, ou deux boules « 2 » : C(7, 2) = 21 tirages. Donc p(A) = (6 + 21)/55 = 27/55.
2) a) A ∩ B : même nombre et couleurs différentes. Seules les boules « 2 » existent en deux couleurs : 3 rouges × 4 vertes = 12 tirages, donc p(A ∩ B) = 12/55.
B : une rouge et une verte : 7 × 4 = 28 tirages, donc p(B) = 28/55.
C : un « 1 » et un « 2 » : 4 × 7 = 28 tirages, donc p(C) = 28/55.
b) p(A) × p(B) = (27 × 28)/55² = 756/3025, alors que p(A ∩ B) = 12/55 = 660/3025. Ces valeurs sont différentes : A et B ne sont pas indépendants.
3) p(A/B) = p(A ∩ B)/p(B) = (12/55)/(28/55) = 12/28 = 3/7.

Exercice 4 — Calcul intégral (2 points)

1) a) (0,5 pt) Montrer que la fonction H : x ↦ (x − 2)eˣ est une primitive de la fonction h : x ↦ (x − 1)eˣ sur ℝ.
b) (0,5 pt) En déduire que ∫₀¹ (x − 1)eˣ dx = 2 − e.
2) (1 pt) En utilisant une intégration par parties, calculer ∫₀¹ (x² − x + 1)eˣ dx.

✅ Corrigé — Calcul intégral

1) a) H′(x) = eˣ + (x − 2)eˣ = (x − 1)eˣ = h(x). Donc H est une primitive de h sur ℝ.
b) ∫₀¹ (x − 1)eˣ dx = H(1) − H(0) = (−1 × e) − (−2 × 1) = 2 − e.
2) On pose u(x) = x² − x + 1 et v′(x) = eˣ, donc u′(x) = 2x − 1 et v(x) = eˣ.
∫₀¹ (x² − x + 1)eˣ dx = [(x² − x + 1)eˣ]₀¹ − ∫₀¹ (2x − 1)eˣ dx = e − 1 − ∫₀¹ (2x − 1)eˣ dx.
Une seconde intégration par parties (u = 2x − 1, v′ = eˣ) donne :
∫₀¹ (2x − 1)eˣ dx = [(2x − 1)eˣ]₀¹ − ∫₀¹ 2eˣ dx = (e + 1) − 2(e − 1) = 3 − e.
Donc ∫₀¹ (x² − x + 1)eˣ dx = e − 1 − (3 − e) = 2e − 4.

Exercice 5 — Problème : étude d'une fonction numérique et suites numériques (9 points)

I) Soit g la fonction numérique définie sur ]0, +∞[ par : g(x) = x³ − x ln x + x − 1.
Le tableau ci-contre est le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle ]0, +∞[ (g strictement croissante sur ]0, +∞[, s'annulant en un unique réel α ≈ 0,52).
1) (0,25 pt) Calculer g(1).
2) (0,5 pt) À partir de ce tableau, déterminer le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]0, α] et [α, +∞[.
II) On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle ]0, +∞[ par : f(x) = x − 1/2 + (ln x)/x + 1/(2x²).
Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i, j).
1) a) (0,5 pt) Vérifier que lim f(x) = +∞ quand x tend vers +∞.
b) (0,5 pt) Montrer que la droite (D) d'équation y = x − 1/2 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.
c) (0,25 pt) Déterminer la position relative de la droite (D) et de la courbe (C).
2) (0,75 pt) Montrer que lim f(x) = +∞ quand x tend vers 0 par valeurs supérieures et interpréter géométriquement le résultat.
3) a) (1 pt) Montrer que f′(x) = g(x)/x³ pour tout x appartenant à l'intervalle ]0, +∞[.
b) (0,5 pt) Montrer que la fonction f est décroissante sur ]0, α] et croissante sur [α, +∞[.
c) (0,5 pt) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0, +∞[.
4) (1 pt) Construire dans le repère (O, i, j) la droite (D) et la courbe (C) (unité : 1 cm).
III) On considère la fonction numérique h définie sur ]0, +∞[ par : h(x) = f(x) − x.
1) a) (0,25 pt) Vérifier que h(1) = 0.
b) (0,75 pt) Dans la figure ci-contre, (Cₕ) est la représentation graphique de la fonction h. Déterminer le signe de h(x) sur chacun des intervalles ]0, 1] et [1, +∞[, puis en déduire que f(x) ≤ x pour tout x de [1, +∞[.
2) On considère la suite numérique (uₙ) définie par : u₀ = e et uₙ₊₁ = f(uₙ) pour tout n de ℕ.
a) (0,75 pt) Montrer par récurrence que 1 ≤ uₙ ≤ e pour tout n de ℕ.
b) (0,75 pt) Montrer que la suite (uₙ) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question III) 1) b)).
c) (0,75 pt) En déduire que la suite (uₙ) est convergente et déterminer sa limite.

✅ Corrigé — Problème : étude d'une fonction numérique et suites numériques

I) 1) g(1) = 1 − 0 + 1 − 1 = 1.
2) g est strictement croissante et s'annule en α, donc g(x) ≤ 0 sur ]0, α] et g(x) ≥ 0 sur [α, +∞[.
II) 1) a) Quand x tend vers +∞, (ln x)/x tend vers 0 et 1/(2x²) tend vers 0, donc lim f = +∞.
b) f(x) − (x − 1/2) = (ln x)/x + 1/(2x²) tend vers 0 en +∞ : la droite (D) est asymptote à (C) en +∞.
c) f(x) − (x − 1/2) = (2x ln x + 1)/(2x²). Or 2x ln x ≥ −2/e > −1 sur ]0, +∞[ (le minimum de x ln x est −1/e, atteint en 1/e), donc 2x ln x + 1 > 0 : la courbe (C) est toujours au-dessus de la droite (D) sur ]0, +∞[.
2) Quand x tend vers 0⁺, 1/(2x²) tend vers +∞ et domine (ln x)/x : lim f = +∞. La droite d'équation x = 0 est une asymptote verticale à (C).
3) a) La dérivée de (ln x)/x est (1 − ln x)/x², et celle de 1/(2x²) est −1/x³. Donc f′(x) = 1 + (1 − ln x)/x² − 1/x³ = (x³ + x − x ln x − 1)/x³ = g(x)/x³.
b) Le signe de f′ est celui de g (car x³ > 0) : f est décroissante sur ]0, α] et croissante sur [α, +∞[.
c) Tableau : f décroît de +∞ à son minimum en α, puis croît vers +∞, avec f(1) = 1.
4) Construction : asymptote verticale x = 0, asymptote oblique (D) : y = x − 1/2, courbe au-dessus de (D), minimum en x = α ≈ 0,52, passage par (1, 1).
III) 1) a) h(1) = f(1) − 1 = (1 − 1/2 + 0 + 1/2) − 1 = 0.
b) D'après la courbe (Cₕ), h(x) ≥ 0 sur ]0, 1] et h(x) ≤ 0 sur [1, +∞[. En particulier, pour x ≥ 1 : f(x) − x = h(x) ≤ 0, donc f(x) ≤ x.
2) a) Initialisation : u₀ = e ∈ [1, e]. Hérédité : si 1 ≤ uₙ ≤ e, f étant croissante sur [1, +∞[, f(1) ≤ f(uₙ) ≤ f(e), soit 1 ≤ uₙ₊₁ ≤ e − 1/2 + 1/e + 1/(2e²) ≈ 2,65 ≤ e. Donc 1 ≤ uₙ ≤ e pour tout n.
b) uₙ₊₁ − uₙ = h(uₙ) ≤ 0 car uₙ ∈ [1, e] ⊂ [1, +∞[ : la suite est décroissante.
c) (uₙ) est décroissante et minorée par 1, donc convergente vers ℓ ∈ [1, e] vérifiant f(ℓ) = ℓ, soit h(ℓ) = 0. Sur [1, +∞[, h ne s'annule qu'en 1, donc lim uₙ = 1.

---

📚 Envie de continuer ? Retrouve tous les sujets équivalents 2015 → 2026 avec corrigés dans l'application NajahPro, et les annales officielles sur notre page archive.