Sujet Maths BAC 2021 (Rattrapage) — Sciences Physiques, avec corrigé détaillé | موضوع رياضيات باك 2021 مع التصحيح
Voici un sujet d'entraînement complet de mathématiques pour la filière Sciences Physiques, rédigé au format exact de l'examen national du baccalauréat (session rattrapage 2021) : barème total 20 points, avec le corrigé détaillé de chaque sous-question.
⏱️ Conseil : traite d'abord le sujet en conditions réelles (3 heures, sans le corrigé), puis corrige-toi question par question.
Exercice 1 — Suites numériques (4 points)
Soit (un) la suite numérique définie par u_0 = 1/2 et, pour tout n de ℕ, un+1 = (4 + un)/(5 − un).
1) (0,5 pt) Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, 0 < un < 2.
2) a) (0,5 pt) Montrer que pour tout n de ℕ, un+1 − un = (un − 2)²/(5 − un).
b) (0,5 pt) En déduire que la suite (un) est convergente.
3) On pose vn = 1/(2 − un) pour tout n de ℕ.
a) (0,75 pt) Montrer que (vn) est une suite arithmétique et déterminer sa raison et son premier terme.
b) (0,75 pt) Déterminer vn en fonction de n et en déduire que un = (2n + 1)/(n + 2) pour tout n de ℕ.
c) (0,5 pt) Calculer la limite de la suite (un).
4) (0,5 pt) À partir de quelle valeur de n a-t-on 2 − un ≤ 10^{−9} ?
✅ Corrigé — Suites numériques
1) Soit f(x) = (4 + x)/(5 − x). On a f'(x) = 9/(5 − x)² > 0 sur [0, 2], donc f est strictement croissante sur [0, 2]. Initialisation : u_0 = 1/2 vérifie 0 < u_0 < 2. Hérédité : supposons 0 < un < 2. Alors f(0) < f(un) < f(2), c'est-à-dire 4/5 < un+1 < 2, donc 0 < un+1 < 2. Par récurrence, pour tout n de ℕ, 0 < un < 2.
2) a) un+1 − un = (4 + un)/(5 − un) − un = (4 + un − 5un + u_n²)/(5 − un) = (u_n² − 4un + 4)/(5 − un) = (un − 2)²/(5 − un).
b) Pour tout n, (un − 2)² ≥ 0 et 5 − un > 3 > 0, donc un+1 − un ≥ 0 : la suite (un) est croissante. Elle est de plus majorée par 2 (question 1), donc elle est convergente.
3) a) 2 − un+1 = 2 − (4 + un)/(5 − un) = (10 − 2un − 4 − un)/(5 − un) = (6 − 3un)/(5 − un) = 3(2 − un)/(5 − un). Donc vn+1 = (5 − un)/(3(2 − un)). Or 5 − un = (2 − un) + 3, d'où vn+1 = 1/3 + 1/(2 − un) = vn + 1/3. La suite (vn) est arithmétique de raison 1/3 et de premier terme v_0 = 1/(2 − 1/2) = 2/3.
b) vn = 2/3 + n/3 = (n + 2)/3. Alors 2 − un = 1/vn = 3/(n + 2), donc un = 2 − 3/(n + 2) = (2n + 4 − 3)/(n + 2) = (2n + 1)/(n + 2).
c) Quand n tend vers +∞, (2n + 1)/(n + 2) tend vers 2 : la suite (un) converge vers 2 (cohérent : le point fixe de f vérifie L = (4 + L)/(5 − L), soit (L − 2)² = 0, donc L = 2).
4) 2 − un = 3/(n + 2) ≤ 10^{−9} équivaut à n + 2 ≥ 3×10^9, c'est-à-dire n ≥ 2 999 999 998. C'est donc à partir du rang n = 2 999 999 998 que 2 − un ≤ 10^{−9}.
Exercice 2 — Nombres complexes (5 points)
1) (0,75 pt) Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z² − 4z + 5 = 0.
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O, u, v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2 + i, b = 2 − i et c = −i.
a) (0,5 pt) Écrire le nombre complexe (c − a)/(c − b) sous forme trigonométrique.
b) (0,5 pt) En déduire la nature du triangle ABC.
3) Soit R la rotation de centre B et d'angle π/2. Soit M un point du plan d'affixe z, M' le point d'affixe z' image de M par R, et soit D le point d'affixe d = −2 − 3i.
a) (0,5 pt) Écrire z' en fonction de z.
b) (0,25 pt) Vérifier que C est l'image de A par R.
4) a) (0,5 pt) Montrer que les points A, C et D sont alignés.
b) (0,5 pt) Déterminer le rapport de l'homothétie h de centre C et qui transforme A en D.
c) (0,5 pt) Déterminer l'affixe m du point E pour que le quadrilatère BCDE soit un parallélogramme.
5) a) (0,5 pt) Montrer que (d − a)/(m − b) est un nombre réel.
b) (0,5 pt) En déduire que le quadrilatère ABED est un trapèze isocèle.
✅ Corrigé — Nombres complexes
1) Le discriminant est Δ = (−4)² − 4×5 = −4 = (2i)². Les solutions sont z = (4 − 2i)/2 = 2 − i et z = (4 + 2i)/2 = 2 + i. L'ensemble des solutions est donc {2 − i ; 2 + i} (ce sont les affixes b et a des points B et A).
2) a) c − a = −i − (2 + i) = −2 − 2i et c − b = −i − (2 − i) = −2. Donc (c − a)/(c − b) = (−2 − 2i)/(−2) = 1 + i = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4)).
b) Le module du quotient donne CA/CB = √2, donc CA = √2 × CB, et son argument donne l'angle (CB, CA) = π/4. Par ailleurs CB = |c − b| = 2, CA = |c − a| = 2√2 et AB = |a − b| = |2i| = 2. On a CB² + AB² = 4 + 4 = 8 = CA² : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. De plus CB = AB = 2 : il est isocèle en B. Conclusion : ABC est un triangle rectangle isocèle en B.
3) a) L'écriture complexe de R est z' = b + e^{iπ/2}(z − b) = iz + b(1 − i). Or b(1 − i) = (2 − i)(1 − i) = 2 − 2i − i + i² = 1 − 3i. Donc z' = iz + 1 − 3i.
b) Pour M = A : z' = i(2 + i) + 1 − 3i = 2i − 1 + 1 − 3i = −i = c. Donc C est bien l'image de A par R.
4) a) (d − c)/(a − c) = (−2 − 3i + i)/(2 + i + i) = (−2 − 2i)/(2 + 2i) = −1, qui est un nombre réel : les vecteurs CA et CD sont colinéaires, donc les points A, C et D sont alignés.
b) Le rapport de l'homothétie h est k = (d − c)/(a − c) = −1 (c'est en fait la symétrie centrale de centre C).
c) BCDE est un parallélogramme si et seulement si les diagonales BD et CE ont le même milieu, c'est-à-dire m = b + d − c = (2 − i) + (−2 − 3i) − (−i) = −3i.
5) a) (d − a)/(m − b) = (−2 − 3i − 2 − i)/(−3i − 2 + i) = (−4 − 4i)/(−2 − 2i) = 2, qui est bien un nombre réel.
b) Ce quotient réel signifie que les vecteurs AD et BE sont colinéaires : les droites (AD) et (BE) sont parallèles, donc ABED possède deux côtés parallèles, c'est un trapèze. De plus AB = 2 (question 2) et DE = |m − d| = |−3i + 2 + 3i| = 2, donc AB = DE : les deux côtés non parallèles sont égaux. Le quadrilatère ABED est donc un trapèze isocèle.
Exercice 3 — Fonctions numériques (3 points)
On considère la fonction numérique h définie sur ]0, +∞[ par : h(x) = 2x + ln x.
1) (0,5 pt) Montrer que la fonction h est strictement croissante sur ]0, +∞[.
2) (0,5 pt) Déterminer h(]0, +∞[).
3) a) (0,5 pt) En déduire que l'équation h(x) = 0 admet une solution unique α sur ]0, +∞[.
b) (0,5 pt) Montrer que 0 < α < 1.
4) a) (0,5 pt) Vérifier que h(1/α) = 2(α² + 1)/α.
b) (0,5 pt) En déduire que α < 2/3.
✅ Corrigé — Fonctions numériques
1) h est dérivable sur ]0, +∞[ et h'(x) = 2 + 1/x. Pour tout x > 0, 1/x > 0, donc h'(x) > 0 : la fonction h est strictement croissante sur ]0, +∞[.
2) h est continue et strictement croissante sur ]0, +∞[. Quand x tend vers 0+, ln x tend vers −∞ et 2x tend vers 0, donc h(x) tend vers −∞. Quand x tend vers +∞, h(x) tend vers +∞. Donc h(]0, +∞[) = ℝ.
3) a) Comme 0 appartient à h(]0, +∞[) = ℝ, le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'un réel α de ]0, +∞[ tel que h(α) = 0, et la stricte monotonie de h donne son unicité.
b) h(1) = 2 + ln 1 = 2 > 0 = h(α). Comme h est strictement croissante, on en déduit α < 1 ; et α > 0 par définition du domaine. Donc 0 < α < 1.
4) a) De h(α) = 0 on tire ln α = −2α. Alors h(1/α) = 2/α + ln(1/α) = 2/α − ln α = 2/α + 2α = 2(1 + α²)/α = 2(α² + 1)/α.
b) Comme α ≠ 1, on a (α − 1)² > 0, donc α² + 1 > 2α, d'où h(1/α) > 2(2α)/α = 4. Par ailleurs h(3/2) = 3 + ln(3/2) < 3 + 1 = 4 car ln(3/2) < ln(e) = 1 (puisque 3/2 < e). Donc h(1/α) > h(3/2), et h étant strictement croissante, 1/α > 3/2, c'est-à-dire α < 2/3.
Exercice 4 — Problème : étude de fonction et calcul intégral (8 points)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x) = 1 − x·e^{−x}, et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) (unité : 1 cm).
1) (0,5 pt) Calculer la limite de f en +∞ et interpréter le résultat géométriquement.
2) a) (0,5 pt) Calculer la limite de f en −∞ et interpréter le résultat géométriquement.
b) (0,75 pt) Montrer que la limite de f(x)/x en −∞ est −∞ et interpréter le résultat géométriquement.
3) a) (0,75 pt) Montrer que pour tout x de ℝ, f'(x) = (x − 1)·e^{−x}.
b) (0,5 pt) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
4) a) (0,5 pt) Calculer f''(x) pour tout x de ℝ.
b) (0,5 pt) Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion d'abscisse 2.
5) (1 pt) Construire la courbe (C) dans le repère (O, i, j) (on prendra f(2) = 1 − 2/e² ≈ 0,73).
6) (0,5 pt) Déterminer la valeur minimale de la fonction f et en déduire que pour tout x de ℝ, e^{x−1} ≥ x.
7) a) (0,5 pt) En utilisant une intégration par parties, calculer I = ∫(de 0 à 2) x·e^{−x} dx.
b) (0,5 pt) En déduire la valeur de ∫(de 0 à 2) f(x) dx.
8) Soit g la restriction de f à l'intervalle ]−∞, 1].
a) (0,5 pt) Montrer que g admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur un intervalle J à déterminer.
b) (0,75 pt) Construire la courbe représentative de g⁻¹ dans le même repère (O, i, j).
c) (0,25 pt) À partir de la courbe représentative de g⁻¹, déterminer la limite de g⁻¹(x)/x en +∞.
✅ Corrigé — Problème : étude de fonction et calcul intégral
1) Quand x tend vers +∞, x·e^{−x} = x/ex tend vers 0 par croissances comparées, donc f(x) tend vers 1. Interprétation : la courbe (C) admet la droite d'équation y = 1 comme asymptote horizontale au voisinage de +∞.
2) a) Quand x tend vers −∞, e^{−x} tend vers +∞ et x·e^{−x} tend vers −∞, donc f(x) tend vers +∞ : la courbe (C) n'a pas d'asymptote horizontale au voisinage de −∞.
b) f(x)/x = 1/x − e^{−x}. Quand x tend vers −∞, 1/x tend vers 0 et −e^{−x} tend vers −∞, donc f(x)/x tend vers −∞. Interprétation : la courbe (C) admet au voisinage de −∞ une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.
3) a) La fonction x → x·e^{−x} est un produit de fonctions dérivables ; sa dérivée est e^{−x} + x(−e^{−x}) = (1 − x)e^{−x}. Donc f'(x) = −(1 − x)e^{−x} = (x − 1)e^{−x}.
b) Comme e^{−x} > 0, f'(x) a le signe de (x − 1) : f' est négative sur ]−∞, 1[, nulle en 1, positive sur ]1, +∞[. La fonction f est donc strictement décroissante sur ]−∞, 1] de +∞ jusqu'à f(1) = 1 − 1/e ≈ 0,63, puis strictement croissante sur [1, +∞[ de 1 − 1/e vers 1.
4) a) f''(x) = e^{−x} + (x − 1)(−e^{−x}) = (1 − x + 1)e^{−x} = (2 − x)e^{−x}.
b) f''(x) s'annule en x = 2 et change de signe en ce point (positive sur ]−∞, 2[, négative sur ]2, +∞[) : la courbe (C) admet donc un point d'inflexion d'abscisse 2, de coordonnées (2 ; 1 − 2/e²).
5) Construction : la courbe part d'en haut à gauche (branche parabolique de direction verticale), est concave sur ]−∞, 2[, passe par le point (0, 1) car f(0) = 1, décroît jusqu'au minimum (1 ; 0,63), passe par le point d'inflexion (2 ; 0,73) où elle devient convexe, puis croît en se rapprochant de l'asymptote horizontale y = 1 par en dessous.
6) D'après le tableau de variations, la valeur minimale de f sur ℝ est f(1) = 1 − 1/e. Pour tout x de ℝ on a donc 1 − x·e^{−x} ≥ 1 − 1/e, soit x·e^{−x} ≤ 1/e. Si x ≤ 0, l'inégalité e^{x−1} ≥ x est évidente car e^{x−1} > 0 ≥ x. Si x > 0, on multiplie les deux membres de x·e^{−x} ≤ e^{−1} par ex > 0 : on obtient x ≤ e^{x−1}. Dans tous les cas, pour tout x de ℝ, e^{x−1} ≥ x.
7) a) On pose u(x) = x et v'(x) = e^{−x}, d'où u'(x) = 1 et v(x) = −e^{−x}. I = [−x·e^{−x}] de 0 à 2 + ∫(de 0 à 2) e^{−x} dx = −2e^{−2} + [−e^{−x}] de 0 à 2 = −2e^{−2} − e^{−2} + 1 = 1 − 3/e².
b) ∫(de 0 à 2) f(x) dx = ∫(de 0 à 2) 1 dx − I = 2 − (1 − 3/e²) = 1 + 3/e².
8) a) La fonction g est continue et strictement décroissante sur ]−∞, 1], avec pour limite +∞ en −∞ et g(1) = 1 − 1/e. Elle réalise donc une bijection de ]−∞, 1] sur J = [1 − 1/e, +∞[ : elle admet une fonction réciproque g⁻¹ définie sur J = [1 − 1/e, +∞[.
b) La courbe de g⁻¹ est la symétrique, par rapport à la droite d'équation y = x, de la partie de (C) correspondant à x ≤ 1 (branche décroissante passant par le point (1 ; 1 − 1/e), qui devient le point (1 − 1/e ; 1) sur la courbe de g⁻¹).
c) Quand x tend vers +∞, le point de la courbe de g⁻¹ d'abscisse x a une ordonnée g⁻¹(x) qui tend vers −∞ très lentement devant x (la courbe s'aplatit vers la gauche) : graphiquement, g⁻¹(x)/x tend vers 0.
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