Probabilités au BAC : formules, arbres pondérés et pièges classiques (avec exemples corrigés)

Les probabilités, c'est le chapitre qui fait peur… et qui rapporte gros. Au BAC, l'exercice de probabilités est presque toujours construit sur le même squelette : un tirage, un arbre pondéré, une formule à appliquer. Quand on connaît les quatre réflexes ci-dessous, il devient l'un des exercices les plus rentables de l'épreuve. Voici la fiche complète, avec deux exemples entièrement corrigés. 1. Les bases : ce qu'il faut poser avant tout calcul Une expérience aléatoire possède un univers Ω, l'ensemble de tous les résultats possibles. Un événement est une partie de Ω. La probabilité d'un événement A, notée P(A), est un nombre entre 0 et 1 ; la probabilité de l'univers vaut 1, celle de l'événement impossible vaut 0. Trois formules de base, à connaître par cœur : - Événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A). Très utile quand l'événement direct est difficile à compter : on calcule le contraire, puis on soustrait. - Union : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A et B sont incompatibles (ils ne peuvent pas se produire ensemble), le dernier terme disparaît. - Équiprobabilité : quand tous les résultats sont aussi probables les uns que les autres, P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles). Premier réflexe du jour J : avant de calculer quoi que ce soit, écrivez l'univers, les événements en jeu et leurs notations. La moitié des erreurs en probabilités vient d'un énoncé lu trop vite, pas d'un calcul raté. 2. Compter avant de calculer : le dénombrement Souvent, avant de calculer une probabilité, il faut compter : combien de tirages possibles, combien d'ordres possibles ? Tout dépend d'une seule question : l'ordre compte-t-il ? - Permutation : n objets rangés dans un ordre : n! (factorielle) possibilités. - Arrangement : on choisit k objets parmi n et l'ordre compte : n × (n−1) × … × (n−k+1). - Combinaison : on choisit k objets parmi n sans que l'ordre compte : C(n, k) = n! / (k! × (n−k)!). Le piège le plus fréquent : utiliser une combinaison quand l'ordre compte, ou l'inverse. Demandez-vous toujours : « si je permute les éléments tirés, est-ce le même tirage ? » Si oui, c'est une combinaison ; sinon, un arrangement. 3. L'arbre pondéré : l'outil qui résout la moitié des exercices Dès que l'expérience se déroule en plusieurs étapes (tirages successifs, choix d'une urne puis d'une boule), dessinez l'arbre pondéré avant tout calcul. Règles de lecture : 1. Les branches partant d'un même nœud portent des probabilités dont la somme vaut 1. 2. La probabilité d'un chemin complet est le produit des probabilités de ses branches. 3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent (c'est la formule des probabilités totales). Attention au tirage sans remise : après chaque tirage, la composition de l'urne change, donc les probabilités des branches suivantes changent aussi. C'est là que les probabilités conditionnelles entrent en jeu. 4. Probabilités conditionnelles : quand l'information change tout La probabilité de A sachant que B est réalisé se note P_B(A) et vaut P(A ∩ B) / P(B), à condition que P(B) ≠ 0. On « restreint » l'univers aux cas où B est réalisé. On en déduit la formule des probabilités composées : P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A). Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). Attention : indépendance n'est pas incompatibilité. Deux événements incompatibles (qui ne se produisent jamais ensemble) ne sont presque jamais indépendants — au contraire, savoir que l'un s'est produit rend l'autre impossible. Enfin, la loi binomiale couvre le cas des répétitions : si l'on répète n fois, indépendamment, une épreuve à deux issues (succès avec probabilité p, échec avec probabilité 1 − p), et si X compte le nombre de succès, alors P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n−k). Les trois conditions — répétition, indépendance, deux issues — doivent toutes être vérifiées avant d'appliquer la formule. Exemple corrigé n° 1 : tirage sans remise (arbre pondéré) Une urne contient 4 boules rouges et 3 boules noires, indiscernables au toucher. On tire deux boules successivement, sans remise. Calculons la probabilité d'obtenir deux boules rouges. Étape 1 — l'arbre. Au premier tirage : P(R₁) = 4/7, P(N₁) = 3/7. Si la première boule est rouge, il reste 3 rouges et 3 noires : P(R₂ sachant R₁) = 3/6 = 1/2. Étape 2 — le chemin. Le seul chemin qui donne deux rouges est R₁ puis R₂. Sa probabilité est le produit des branches : P(R₁ ∩ R₂) = P(R₁) × P(R₂ sachant R₁) = (4/7) × (1/2) = 2/7. Étape 3 — vérification. On peut contrôler par dénombrement : le nombre de façons de tirer 2 rouges parmi 4 est C(4, 2) = 6, et le nombre total de tirages de 2 boules parmi 7 est C(7, 2) = 21. Donc P = 6/21 = 2/7. Les deux méthodes concordent — un excellent moyen de vérifier sa réponse le jour J. Et si l'on demandait la probabilité d'obtenir deux couleurs différentes ? Deux chemins y mènent : rouge puis noire, ou noire puis rouge. P = (4/7) × (3/6) + (3/7) × (4/6) = 12/42 + 12/42 = 24/42 = 4/7. On peut aussi passer par le contraire : 1 − P(même couleur) = 1 − (2/7 + 1/7) = 4/7. Même résultat, deux chemins possibles — choisissez le plus court. Exemple corrigé n° 2 : loi binomiale On lance 5 fois de suite une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois « pile » ? Les trois conditions sont réunies : répétition (5 lancers), indépendance (chaque lancer ne dépend pas des précédents), deux issues (pile ou face, p = 1/2). Soit X le nombre de « pile » : X suit la loi binomiale B(5 ; 1/2). P(X = 3) = C(5, 3) × (1/2)³ × (1/2)² = 10 × (1/32) = 10/32 = 5/16. Remarque utile : la probabilité d'obtenir au moins un pile se calcule presque toujours par le contraire — 1 − P(aucun pile) = 1 − (1/2)^5 = 31/32 — plutôt que de sommer cinq termes. Les 4 pièges qui coûtent des points 1. Confondre P_B(A) et P_A(B) : « probabilité d'être rouge au second tirage sachant que le premier est rouge » n'est pas « probabilité que le premier soit rouge sachant que le second l'est ». Le sens du conditionnement change tout. 2. Oublier la remise (ou son absence) : avec remise, les probabilités ne changent pas d'un tirage à l'autre ; sans remise, il faut mettre à jour la composition à chaque étape. 3. Additionner au lieu de multiplier (et inversement) : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre plusieurs chemins. Mélanger les deux est l'erreur la plus coûteuse. 4. Appliquer la loi binomiale sans vérifier les conditions : si les épreuves ne sont pas indépendantes (tirage sans remise, par exemple), la formule binomiale est fausse — c'est l'arbre qu'il faut utiliser. À retenir Un exercice de probabilités réussi au BAC, c'est : univers et notations posés → dénombrement si besoin → arbre pondéré dessiné en premier → produit le long des chemins, somme entre les chemins → vérification par une seconde méthode quand c'est possible. Appliquez ces réflexes à chaque exercice, et les probabilités deviennent une source de points sûre. Retrouvez la fiche complète, les quiz et des dizaines d'exercices corrigés pas à pas dans l'application NajahPro — gratuite.